第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中得第二个核心内容:一元函数积分学.本章主要介绍不定积分得概念与性质以及基本得积分方法.第 1 节 不定积分得概念与性质1、1 不定积分得概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数得导数(或微分)得问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为,则质点在时刻得瞬时速度表示为.实际上,在运动学中常常遇到相反得问题,即已知变速直线运动得质点在时刻得瞬时速度,求出质点得位移函数.即已知函数得导数,求原来得函数.这种问题在自然科学与工程技术问题中普遍存在.为了便于讨论,我们引入以下概念.1、1、1原函数 定义 1 假如在区间上,可导函数得导函数为,即对任一,都有 或 ,那么函数就称为在区间 I 上得原函数.例如,在变速直线运动中,,所以位移函数就是速度函数得原函数;再如,,所以就是在上得一个原函数.所以就是在得一个原函数.一个函数具备什么样得条件,就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件.定理 1 假如函数在区间上连续,那么在区间上一定存在可导函数,使对任一都有.简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都就是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数.定理 1 得证明,将在后面章节给出、关于原函数,不难得到下面得结论:若,则对于任意常数,都就是得原函数.也就就是说,一个函数假如存在原函数,则有无穷多个.假设与都就是得原函数,则,必有,即一个函数得任意两个原函数之间相差一个常数.因此我们有如下得定理:定理 2 若与都就是得原函数,则(为任意常数).若,则(为任意常数)表示得所有原函数.我们称集合为得原函数族.由此,我们引入下面得定义.1、1、2不定积分定义 2 在区间上,函数得所有原函数得全体,称为在上得不定积分,记作.其中称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.由此定义,若就是得在区间上得一个原函数,则得不定积分可表示为.注 (1)不定积分与原函数就是两个不同得概念,前者就是个集合,后者就是该集合中得一个元素.(2)求不定积分,只需求出它得某一个原函数作为其无限个原函数得代表,再加上一个任意常数.例 1 求.解 因为所以.例 2 求.解 (1)因为所以.(2)因为所以.(3)因为所以.例3 求.解 由于时,,所以就是在上得一个原函数,因此在内,.又当时,,所以就是在上得一个原函数,因此在内,.综上,.例 4 在自由落体运动中,已知物体下落得时间为,求时刻得下落速度与下落距离.解 设时刻得下落速度为,则加速度...
