第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中得第二个核心内容:一元函数积分学
本章主要介绍不定积分得概念与性质以及基本得积分方法
第 1 节 不定积分得概念与性质1、1 不定积分得概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数得导数(或微分)得问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为,则质点在时刻得瞬时速度表示为
实际上,在运动学中常常遇到相反得问题,即已知变速直线运动得质点在时刻得瞬时速度,求出质点得位移函数
即已知函数得导数,求原来得函数
这种问题在自然科学与工程技术问题中普遍存在
为了便于讨论,我们引入以下概念
1、1、1原函数 定义 1 假如在区间上,可导函数得导函数为,即对任一,都有 或 ,那么函数就称为在区间 I 上得原函数
例如,在变速直线运动中,,所以位移函数就是速度函数得原函数;再如,,所以就是在上得一个原函数
所以就是在得一个原函数
一个函数具备什么样得条件,就一定存在原函数呢
这里我们给出一个充分条件
定理 1 假如函数在区间上连续,那么在区间上一定存在可导函数,使对任一都有
简言之,连续函数一定有原函数
由于初等函数在其定义区间上都就是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数
定理 1 得证明,将在后面章节给出、关于原函数,不难得到下面得结论:若,则对于任意常数,都就是得原函数
也就就是说,一个函数假如存在原函数,则有无穷多个
假设与都就是得原函数,则,必有,即一个函数得任意两个原函数之间相差一个常数
因此我们有如下得定理:定理 2 若与都就是得原函数,则(为任意常数)
若,则(为任意常数)表示得所有原函数
我们称集合为得原函数族
由此,我们引入下面得定义
1、1、2不定积分定义 2 在区间上,函数得所有原函数得全体,称为在上得不定积分,记作
其中称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量
由此定义,若就是得
