高考数学 考前三个月复习冲刺 中档大题规范练3 立体几何 理试题VIP免费

1.(2015·石家庄二模)如图(1)所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，如图(2)所示.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积和体积.2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面GEF∥平面ABD.3.(2015·济南外国语学校模拟)如图所示，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1各棱长都是2，∠BAD＝∠A1AD＝60°，E，O分别是棱CC1，AD的中点，平面ADD1A1⊥平面ABCD.(1)求证：OC∥平面AED1；(2)求证：AD⊥D1C；(3)求几何体D—AED1的体积.4.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形AD∥BC，∠ABC＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1.(1)求PB与CD所成的角；(2)求直线PD与平面PAC所成的角的余弦值；(3)求二面角B－PC－D的余弦值.5.如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图2.(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大；(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，线段CD上是否存在点N，使得EN⊥BM？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.6.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.(1)证明：CQ∥平面PAB；(2)求二面角D—AQ—C的余弦值.答案精析中档大题规范练31.(1)证明在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝＝2.所以AB2＋BD2＝AD2.所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.又DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD.因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，因为BD＝2，DE＝DC＝AB＝2，所以S△EDB＝BD×DE＝2.因为AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE.因为BE＝AD＝4，所以S△EAB＝AB×BE＝×2×4＝4.因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，所以ED⊥AD.所以S△EAD＝AD×DE＝×4×2＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2.因为DE⊥平面ABD，且S△ABD＝S△EDB＝2，DE＝2，所以V三棱锥E—ABD＝S△ABD×DE＝×2×2＝.2.证明(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示.因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形，故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.(2)如图所示，连接MC1，可知G为MB1的中点，又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.3.(1)证明如图，连接A1D交AD1于点F，连接OF，EF，则F为A1D的中点，也为AD1的中点.因为E，O分别是棱CC1，AD的中点，所以OF∥DD1∥CC1，OF＝CC1，CE＝CC1，所以OF綊CE，所以四边形OCEF为平行四边形，所以OC∥EF.因为EF⊂平面AED1，OC⊄平面AED1，所以OC∥平面AED1.(2)证明如图，连接A1O.因为斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱长都是2，∠A1AD＝60°，所以△AA1D为正三角形.又O是棱AD的中点，所以A1O⊥AD.因为平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，所以A1O⊥平面ABCD.如图，连接A1B，OB.因为∠BAD＝60°，所以AD⊥OB.因为A1O∩OB＝O，所以AD⊥平面A1OB，所以AD⊥A1B.因为A1B∥D1C，所以AD⊥D1C.(3)解如图，连接BD，BD1.因为平面ADD1A1∥平面BB1C1C，所以点E到平面ADD1A1的距离等于点B到平面ADD1A1的距离，所以VD—AED1＝VE—ADD1＝VB—ADD1＝××2×2×sin120°×＝1.4.解(1)由题意，可得PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为PA＝AB＝BC＝AD＝1，所以A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0).所以PB＝(1...