§8.6 空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.② 两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝知识拓展1．向量三点共线定理在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中 P，A，B，C ...
