第 2 讲 数列的求和问题[考情考向分析] 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．热点一 分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例 1 (2018·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}满足 2an＋1－an＝2n＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和．解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，因为 2an＋1－an＝2n＋3，所以所以所以所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)因为数列{an＋bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an＋bn＝2n－1，因为 an＝2n－1，所以 bn＝2n－1－(2n－1)．设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝－＝2n－1－n2，所以数列{bn}的前 n 项和为 2n－1－n2(n∈N*)．思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练 1 已知等差数列{an}的公差为 d，且关于 x 的不等式 a1x2－dx－3<0 的解集为(－1,3)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若 bn＝＋2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解 (1)由题意，得解得故数列{an}的通项公式为 an＝1＋2(n－1)，即 an＝2n－1(n∈N*)．(2)据(1)求解知 an＝2n－1，所以 bn＝＋2an＝22n－1＋2(2n－1)＝＋4n－2，所以 Sn＝(4＋42＋43＋…＋4n)＋(2＋6＋10＋…＋4n－2)＝×＋＝＋2n2－(n∈N*)．热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例 2 (2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比 q≠1，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，a1＋a3＝，a1－1，a2－1，a3－1 分别是一个等差数列的第 1 项，第 2 项，第 5 项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝anlg an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.解 (1)由 a1＋a3＝得，a1＋a1q2＝＝1...
