规范答题示例 3 数列的通项与求和问题典例 3 (12 分)下表是一个由 n2个正数组成的数表，用 aij表示第 i 行第 j 个数(i，j∈N*)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且 a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n … … … … …an1 an2 an3 … ann(1)求 an1和 a4n；(2)设 bn＝＋(－1)n·an1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.审题路线图 ―→――→―――――→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解 (1)设第 1 列依次组成的等差数列的公差为 d，设每一行依次组成的等比数列的公比为 q.依题意 a31＋a61＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1，∴an1＝a11＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)，3 分∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31·q4＝3q4＝48，∵q>0，∴q＝2，又∵a41＝4，∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1(n∈N*).6 分(2)∵bn＝＋(－1)nan1＝＋(－1)n·n7 分＝＋(－1)n·n＝－＋(－1)n·n，∴Sn＝＋＋＋…＋＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)nn]，10分当 n 为偶数时，Sn＝1－＋，11 分当 n 为奇数时，Sn＝1－＋－n＝1－－＝－.12 分第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式.第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).第四步 写步骤.第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则 (1)求出 d 给 1 分，求 an1时写出公式结果错误给 1 分；求 q 时没写 q>0 扣 1 分；(2)bn写出正确结果给 1 分，正确进行裂项再给 1 分；(3)缺少对 bn的变形直接计算 Sn，只要结论正确不扣分；(4)当 n 为奇数时，求 Sn中间过程缺一步不扣分．跟踪演练 3 (2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解 (1)由条件可得 an＋1＝an，将 n＝1 代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以 a2＝4.将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12.从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由条件可得＝，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
