第 3 讲 立体几何中的向量方法[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．热点一 利用向量证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例 1 如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，点 E，F 分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.证明 (1)以点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． 点 E，F 分别是 PC，PD 的中点，∴E，F，EF＝，AB＝(1,0,0)． EF＝－AB，∴EF∥AB，即 EF∥AB，又 AB⊂平面 PAB，EF⊄平面 PAB，∴EF∥平面 PAB.(2)由(1)可知，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)， AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP⊥DC，AD⊥DC，即 AP⊥DC，AD⊥DC.又 AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面 PAD，∴DC⊥平面 PAD. DC⊂平面 PDC，∴平面 PAD⊥平面 PDC.思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向量 a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．跟踪演练 1 如图，在直三棱柱 ADE—BCF 中，平面 ABFE 和平面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面 BCF；(2)平面 MDF⊥平面 EFCD.证明 方法一 (1)由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz.设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，...
