数列证明题型总结附答案 (2)

数列证明题型总结(考试时间：______ 总分：____＿_）出卷人：_____＿____ﻩ 内测人：__＿___＿_＿_ 班号：_＿_______＿ 姓名:＿__＿_____＿__ 成绩:______＿__＿一、解答题 ：1.在数列中,a １=１，an+1＝2an+2n、(Ⅰ)设 bn＝，证明：数列就是等差数列;（Ⅱ）求数列得前 n 项得与 Sn、【答案】（Ⅰ）因为 bn+1－ｂ n＝－＝=＝1所以数列｛bn}为等差数列（Ⅱ）因为 b ｎ＝b1＋（n—１）×１＝ｎ所以 an=n·2 ｎ－1所以Ｓｎ＝1×20＋２×２ 1＋…＋n×２ n-12 Ｓ n＝１×2 １＋2×2 ２+…＋n×2n两式相减得 Sn＝（n—１）·２ n＋12．在数列｛an｝中,ａ 1=，ａ n＋１＝an+、（Ⅰ）设 bn=2nan,证明:数列｛bn｝就是等差数列;（Ⅱ）求数列｛a ｎ}得前 n 项与 Sn、【答案】（Ⅰ)由 an＋１=a ｎ+，得２ n+１ａｎ+1＝2na ｎ+1 bn+1＝ｂ n+1，则{bn}就是首项 b １=1，公差为１得等差数列.故 bn＝n，an＝、（Ⅱ)Sn=１×＋2×＋3×＋…+(n－1）×+n×Sn=１×＋２×+3×＋…+(n-1）×+ｎ×两式相减,得：Sn=+++…＋－＝－=1－—Sn＝2—－3.数列｛ａ n｝得各项均为正数,前 n 项与为 Sn，且满足 4Sn＝(ａ n＋1)2（ｎ∈Ｎ*）。（Ⅰ)证明：数列｛ａｎ｝就是等差数列，并求出其通项公式ａ n；（Ⅱ)设 bn＝a ｎ+2an(n∈N*)，求数列｛b ｎ｝得前 n 项与 Tn、【答案】(Ⅰ)n＝1 时,４ａ 1=(a １+1)2⇒a－2 ａ１+1=０，即 a1=1n≥2 时,４ an=4 Ｓ n—4Sn-1＝（ａ n＋1)２—（a ｎ—1＋１)2=a－a+2an—２ an—１⇒a－a－2an－2an-1=０⇒（ａ n＋ａ n—1）[（an－an-1）－2]＝0 an〉０ ∴an－ａ n－1=2故数列{an}就是首项为 a1=1，公差为 d＝2 得等差数列,且 an=2 ｎ-1(n∈N＊）（Ⅱ)由（Ⅰ)知 b ｎ＝an+2an＝（2n－1)＋22n-１∴Ｔｎ=b1＋b ２+…+bn＝(1+21)＋（3＋23）＋…+［(2n－1）＋２２ｎ－１］=［1+3+…+(2 ｎ—1）]+(21+23＋…+２ 2n－1)＝n ２+=+n2－＝4．数列｛a ｎ｝得各项均为正数,前 n 项与为Ｓ n，且满足 2=ａ n＋１(n∈N*）.(Ⅰ）证明:数列｛an}就是等差数列，并求出其通项公式ａ n；（Ⅱ)设 bn=ａ n·2n(ｎ∈N＊)，求数列｛ｂ n}得前 n 项与Ｔ n、【答案】（Ⅰ）由 2＝a ｎ＋1（ｎ∈N＊）可以得到 4S ｎ＝（an+1）2(n∈Ｎ＊） n=１时,4 ａ 1=（a1＋1）2⇒a-２ a1＋1＝0，即ａ１＝1ｎ≥2 时,4 ａ n＝4S ｎ—4Sn－1=(an+1）２－（an－1＋1)2=a－a+...