集合与函数（13）1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.“”则称集合是好集.“”（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是好集，并说明理由；“”“”（Ⅱ）设集合是好集，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个好集，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；3、若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.…………………则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）4、已知函数在区间上为增函数，且。（1）当时，求的值；（2）当最小时，①求的值；②若是图象上的两点，且存在实数使得，证明：。5、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线.已知函数为自然对数的底，为常数）.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)“”设，试探究函数与函数是否存在分界线？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.6、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是A．=1且=0B．C．=2且=2D．=2且=37、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（）A．2B．C．1D．08、已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个11、设函数的最大值为，最小值为，那么.12、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.2“”、解：（Ⅰ）集合不是好集.“”理由是：假设集合是好集.因为，，所以.这与矛盾.“”有理数集是好集.因为，,对任意的，有，且时，.“”所以有理数集是好集.“”（Ⅱ）因为集合是好集，所以.若，则，即.所以，即.（Ⅲ）命题均为真命题.理由如下：“”对任意一个好集，任取，若中有0或1时，显然.下设均不为0，1.由定义可知：.所以，即.所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，则显然.若且，则.所以.所以由（Ⅱ）可得：.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题.3、（Ⅰ）解：集合组1具有性质....
