第 2 课时 导数与函数的极值、最值 考点一 函数的极值命题方向 1 根据函数图象判断函数极值【例 1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)【解析】 由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－22 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．【答案】 D命题方向 2 已知函数求极值【例 2】 (1)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1(2)已知函数 f(x)＝x－1＋(a∈R，e 为自然对数的底数)，求函数 f(x)的极值．【解析】 (1)f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1. x＝－2 是 f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0，得 a＝－1.∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.由 f′(x)>0，得 x<－2 或 x>1；由 f′(x)<0，得－20，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值．② 当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝lna，当 x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当 x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故函数 f(x)在 x＝lna 处取得极小值且极小值为 f(lna)＝lna，无极大值．综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝lna 处取得极小值 lna，无极大值．【答案】 (1)A (2)见解析命题方向 3 已知函数的极值求参数【例 3】 设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围．【解】 (1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以 f′(1)...
