第七节 立体几何中的向量方法课标要求考情分析能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用.1.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角．2．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想，转化与化归思想. 知识点一 异面直线所成角设异面直线 a，b 所成的角为 θ，则 cosθ＝，其中 a，b 分别是直线 a，b 的方向向量．两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．知识点二 直线与平面所成角如图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ为 l 与 α 所成的角，则 sinφ＝|cos〈a，n〉|＝.直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．知识点三 二面角1．若 AB，CD 分别是二面角 αlβ 的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的平面角(或其补角)的大小就是向量AB与CD的夹角，如图(1)．2．平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 αlβ 的平面角大小为 θ 或 π－θ.设二面角的平面角大小为 φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝，如图(2)(3)．利用公式求二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( × )(2)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥B．( √ )(3)已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l 与平面 α 所成的角为 120°.( × )(4)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 45°.( × )2．小题热身(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( D )A．－B．－C．D．(2)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为. (3)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD⊥底面 ABCD，PD＝DC．则二面角 CPBD 的大小为 60°.解析：(...
