第七讲 立体几何中的向量方法ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一 两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有__无数__个．(2)平面的法向量直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有__无数__个，它们是共线向量．知识点二 空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇒n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α、β 的法向量分别为 n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0知识点三 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ，则 cosφ＝|cosθ|＝ (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．知识点四 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝ ．知识点五 求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ AB ， CD ．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cosθ|＝ ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．知识点六 利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为 d＝．(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．注意体积法在求点到平面距离时的应用．1．直线的方向向量的确定：l 是空间一直线，A，B 是 l 上任意两点，则AB及与AB平行的非零向量均为直线 l 的方向向量．2．平面的法向量的确定：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为题组一 走出误区1．(多选题)下列结论错误的是( ACD )A．两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B．若两平面的法向量平行，则两平面平行C．直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角D．两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角题组二 走进教...
