球与几何体的切接问题命题点 1 外接球 求解外接球问题的方法解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置．[高考题型全通关]1．直三棱柱 ABCA′B′C′的所有棱长均为 2，则此三棱柱的外接球的表面积为( )A．12π B．16π C．28π D．36πC [由直三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，得底面所在平面截外接球所成的圆 O 的半径 r＝2，又由直三棱柱的侧棱长为 2，得外接球球心到圆 O 的距离 d＝，则外接球半径 R 满足 R2＝r2＋d2＝7，∴外接球的表面积 S＝4πR2＝28π.故选 C．]2．(2020·石家庄模拟)已知正三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 2，则球 O 的表面积为( )A．25π B．20π C．16π D．30πA [如图，延长 SO 交球 O 于点 D，设△ABC 的外心为 E，连接 AE，AD，由正弦定理得 2AE＝＝4，∴AE＝2，易知 SE⊥平面 ABC，由勾股定理可知，三棱锥 SABC 的高 SE＝＝＝4，由于点 A 是以 SD 为直径的球 O 上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球 O 的直径2R＝SD＝＝5，因此，球 O 的表面积为 4πR2＝π×(2R)2＝25π.]3．(2020·武汉部分学校质量检测)已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC＝2，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球 O 的体积为 ( )A．16π B．8π C．4π D．2πC [因为 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝PB＝PC＝2，所以以 PA，PB，PC 为交于一点的三条棱构造正方体，则球 O 即此正方体的外接球，该正方体的体对角线长为球的直径，即球的直径为＝＝2，所以球的半径 R＝，所以球 O 的体积 V＝πR3＝π()3＝4π，选 C．]4．如图，半径为 R 的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )A． B． C． D．RD [设球的球心为 O，半径为 R，体积为 V，上面圆锥的高为 h(h＜R)，体积为 V1，下面圆锥的高为 H(H＞R)，体积为 V2，两个圆锥共用的底面的圆心为 O1，半径为 r.由球和圆锥的对称性可知 h＋H＝2R，|OO1|＝H－R. V1＋V2＝V，∴πr2h＋πr2H＝×πR3，∴r2(h＋...
