第 3 课时 等差数列的定义和通项1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.会运用等差数列的通项公式解决相关数列问题.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,会采用定期放水的方式清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为 18 m,自然放水每天水位降低 2.5 m,最低降至 5 m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成的数列(单位:m)是我们今天要学习的一种数列.问题 1:(1)等差数列的定义:如果一个数列从 ,每一项与它前一项的差等于 ,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作这个数列的 ,常用字母“d”表示.即数列{an}为等差数列⇔an-an-1=d(n≥2,n∈N+). (2)等差中项的定义:若三个数 a,A,b 构成等差数列,则 A 叫作 a 与 b 的 ,且 A= . 问题 2:等差数列通项公式的推导通项公式:an= . (1)累加法:设数列{an}是等差数列,则 an-an-1=d(n≥2,d 为常数),于是a2-a1=d,a3-a2=d,……an-an-1=d,将这 n-1 个等式相加,得 an-a1= ,即 an= . 这个推导方法称作累加法,是求等差数列的通项公式的常用方法.通项公式的变形:由等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d 得 am= ,所以an-am= ,即通项公式 an也可表示为 an= . (2)归纳法:若一等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则据其定义可得:a2-a1= ,即:a2=a1+ ; a3-a2= ,即:a3=a2+d=a1+ ; a4-a3= ,即:a4=a3+d=a1+ ; ……由此归纳等差数列的通项公式可得:an= . 1问题 3:等差数列的性质在等差数列{an}中:(1)an-am= ,d=(m≠n); (2)an===…;(3)若 p+q=r+s(p,q,r,s∈N+),则 ; (4)若{kn}为等差数列,则{a·kn}为 数列,此外,所有奇数项(或偶数项)按原来的顺序构成的数列也为 数列. 问题 4:等差数列的单调性等差数列{an}中,若公差 d>0,则数列{an}为 数列;若公差 d<0,则数列{an}为 数列;若公差 d=0,则数列{an}为 数列. 1.已知等差数列{an}的通项公式为 an=3-2n,则它的公差为( ).A.2 B.3 C.-2 D.-32.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第 37 项为( ).A.0 B.37C.100D.-373.在等差数列{an}中,若 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6= . 4.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,求 an.考查等差数列的定义已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q,其中 p、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,求出首项与公差;若不是,请说明理由.三个数成等差时的...
