（同步辅导）2015高中数学《基本不等式》导学案 北师大版必修5VIP专享

第 5 课时 基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形 ABCD中有 4 个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,那么正方形的边长为.问题 1:上述情境中,正方形的面积为 ,4 个直角三角形的面积的和 ,由于 4 个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: ,我们称之为重要不等式 ,即对于任意实数 a,b,都有 当且仅当 时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明: - =(a-b)2≥0, 所以 ,当且仅当 a=b 时取等号. 问题 2:基本不等式若 a,b∈(0,+∞),则 ,当且仅当 时,等号成立. 问题 3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:1在直角三角形中,直角三角形斜边上的 斜边上 .在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果把看作正数 a、b 的 ,看作正数 a、b 的 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 不小于它们的 . (3)在数学中,我们称为 a、b 的 ,称为 a、b 的 .因此,两个正数的 不小于它们的 . 问题 4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知 x,y∈(0,+∞),若积 x·y=p(定值),则和 x+y 有最 值 ,当且仅当 x=y 时,取“=”. (2)已知 x,y∈(0,+∞),若和 x+y=s(定值),则积 x·y 有最 值 ,当且仅当 x=y 时,取“=”. 即“积为常数, ;和为常数, ”. 概括为:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).A.若 a,b∈R,则 + ≥2=2B.若 a,b∈R+,则 lg a+lg b≥2C.若 x 为负实数,则 x+ ≥-2=-2D.若 x 为负实数,则 3x+3-x≥2=22.下列不等式一定成立的是( ).A.lg(x2+ )>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.> (b>a>0)D.>1(x∈R)3.已知 x>0,y>0,4x+9y=1,则 + 的最小值为 . 4.已知 a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.2基本不等式求最值(1)已知 x> ,求函数 y=4x-2+的最小值.(2)已知正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知 x、y 都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.单调性与基本不等式设函数 f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值;(2)当 0