专题四 平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第 12 页)1．(2017·江苏高考)如图 4－1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1,1，，OA与OC的夹角为 α，且 tan α＝7，OB与OC的夹角为 45°
若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________
图 4－13 [法一 因为 tan α＝7，所以 cos α＝，sin α＝
过点 C 作 CD∥OB 交 OA 的延长线于点 D，则OC＝OD＋DC，∠OCD＝45°
又因为OC＝mOA＋nOB，所以OD＝mOA，DC＝nOB，所以|OD|＝m，|DC|＝n
在△COD 中，由正弦定理得＝＝，因为 sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD)＝sin (α＋∠OCD)＝，即＝＝，所以 n＝，m＝，所以 m＋n＝3
法二 由 tan α＝7 可得 cos α＝，sin α＝，则＝＝，由 cos∠BOC＝可得＝＝，cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝×－×＝－，则OA·OB＝－，则 m－n＝，－m＋n＝1，则 m＋n＝，则 m＋n＝3
]2．(2016·江苏高考)如图 4－2，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．图 4－2 [由题意，得BF·CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF)＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF2－BD2＝|DF|2－|BD|2＝－1，①BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA)＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF)＝9DF2－BD2＝9|DF|2－|BD|2＝4
②由①②得|DF|2＝，|BD|2＝
∴BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE)＝(BD＋2DF)
