难点五 复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第 71 页)数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前 n 项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等．数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前 n 项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点．1．由数列的递推关系求通项由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an＋1－an＝f (n)型，采用叠加法．(2)＝f (n)型，采用叠乘法．(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．2．由 Sn与 an的关系求通项 anSn与 an的关系为：an＝【例 1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＋n＝2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若 bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求满足不等式＞2 010 的 n的最小值．[解] (1)证明：当 n＝1 时，2a1＝a1＋1，∴a1＝1. 2an＝Sn＋n，n∈N*，∴2an－1＝Sn－1＋n－1，n≥2，两式相减得 an＝2an－1＋1，n≥2，即 an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2，∴数列{an＋1}为以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1，n∈N*；(2)bn＝(2n＋1)an＋2n＋1＝(2n＋1)·2n，∴Tn＝3·2＋5·22＋…＋(2n＋1)·2n，∴2Tn＝3·22＋5·23＋…＋(2n＋1)·2n＋1，两式相减可得－Tn＝3·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n＋1)·2n＋1，∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2，∴＞2 010 可化为 2n＋1＞2 010， 210＝1 024,211＝2 048∴满足不等式＞2 010 的 n 的最小值为 10.[点评] 利用 an＝Sn－Sn－1求通项时，注意 n≥2 这一前提条件，易忽略验证 n＝1 致误，当 n＝1 时，a1若适合通项，则 n＝1 ...
