难点八 函数最值、恒成立及存在性问题(对应学生用书第 75 页)恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．F(x)＞a：具体方法为将已知恒成立或存在性的不等式或等式由等价原理把参数和变量分离开转化为一元已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．【例 1】 (2017·盐城市滨海县八滩中学二模)设 f (x)＝ex－a(x＋1)．(1)若 a＞0，f (x)≥0 对一切 x∈R 恒成立，求 a 的最大值；(2)设 g(x)＝f (x)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线 y＝g(x)上任意两点，若对任意的 a≤－1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围；(3)是否存在正整数 a，使得 1n＋3n＋…＋(2n－1)n＜(an)n对一切正整数 n 都成立？若存在，求 a 的最小值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394112】[解] (1) f (x)＝ex－a(x＋1)，∴f ′(x)＝ex－a， a＞0，f ′(x)＝ex－a＝0 的解为 x＝ln a.∴f (x)min＝f (ln a)＝a－a(ln a＋1)＝－aln a. f (x)≥0 对一切 x∈R 恒成立，∴－aln a≥0，∴aln a≤0，∴amax＝1.(2) f (x)＝ex－a(x＋1)，∴g(x)＝f (x)＋＝ex＋－ax－a. a≤－1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，∴g′(x)＝ex－－a≥2－a＝－a＋2＝m(a≤－1)，解得 m≤3，∴实数 m 的取值范围是(－∞，3]．(3)设 t(x)＝ex－x－1，则 t′(x)＝ex－1，令 t′(x)＝0 得：x＝0.在 x＜0 时 t′(x)＜0，f (x)递减；在 x＞0 时 t′(x)＞0，f (x)递增．∴t(x)最小值为 t(0)＝0，故 ex≥x＋1，取 x＝－，i＝1,3，…，2n－1，得 1－≤e－，即 n≤e－，累加得n＋n＋…＋n＜e－＋e－＋…＋e－＝＜.∴1n＋3n＋…＋(2n－1)n＜·(2n)n，故存在正整数 a＝2.使得 1n＋3n＋…＋(2n－1)n＜·(an)n.【例 2】 (2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知函数 f (x)＝(x＋1)ln x－ax＋a(a 为正实数，且为常数)．(1)若 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，求 a 的取值范围；(2)若不等式(x－1)f (x)≥0 恒成立...
