专题八 二项式定理与数学归纳法江苏新高考本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查. 2012，2013 年主要考查组合计数；2014 年考复合函数求导和数学归纳法；2015 年考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；2016 年考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；2017 年考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇考查.第 1 课时 计数原理与二项式定理 ( 能力课 ) [常考题型突破]计数原理的应用[例 1] 一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数，则称该集合为“好集”．记集合{1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n)．(1)求 f(1)，f(2)的值；(2)求 f(n)的表达式．[解] (1)① 当 n＝1 时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共 1 个；二元好集有{1,2}，共 1 个；三元好集有{1,2,3}，共 1 个，所以 f(1)＝1＋1＋1＝3.② 当 n＝2 时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共 2 个；二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共 5 个；三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}，共 8 个；四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}，共 5 个；五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共 2 个，还有一个全集．故 f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.(2)首先考虑 f(n＋1)与 f(n)的关系．集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入 3 个元素 3n＋1,3n＋2,3n＋3.故 f(n＋1)的组成有以下几部分：① 原来的 f(n)个集合；② 含有元素 3n＋1 的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合，含有元素是 3n＋2 的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合，含有元素是 3n＋3 的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合．合计是 23n；③ 含有元素是 3n＋1 与 3n＋2 的“好集”是{1,2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余0 的集合，含有元素是 3n＋2 与 3n＋3 的“好集”是{1,2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 1的集合，含有元素是 3n＋1 与 3n＋3 的“好集”是{1,2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 2的集合．合计是 23n；④ 含有元素是 3n＋1,3n＋2,3n＋3 的...
