§第三章 空间向量(复习) 学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算;2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程 一、课前准备(预习教材 P115-116,找出惑之处)复习 1:如图,空间四边形中,.点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 中点,则 复习 2:平行六面体中,,点 P,M,N 分别是的中点,点 Q 在上,且,用基底表示下列向量:⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .※主要知识点:1. 空间向量的运算及其坐标运算:空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具① 平行与垂直的判断 ②角与距离的计算※ 典型例题例 1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为,在它的顶点处分别受 力、、, 每 个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是,且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板?变式:上题中,若不建立坐标系,如何解决这个问题?小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学中向量的问题来解决,具体方法有坐标法和直接向量运算法,对能建立坐标系的题,尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例 2 如图,在直三棱柱中,,点 M 是的中点,求证:.变式:正三棱柱的底面边长为 1,棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线上求一点 N,使. 例3 如图,长方体中,点 E,F 分别在上,且,.⑴ 求证:平面;⑵ 当时,求平面与平面所成的角的余弦值. ※ 动手试试练 1. 如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为.⑴ 试建立适当的坐标系,写出点的坐标⑵ 求的侧面所成的角.练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量,求点 B 的坐标,使得,且.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同;2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.※ 知识拓展若二面角两个面的法向量分别是,二面角为则,而 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:1.已知,且,则 k= ;2. 已知,则的最小值是( )A. B. C. D. 3.空间两个单位向量与的夹角都等于,则 4.将正方形沿对角线折成直二面角后,异面直线所成角的余弦值为 . 5. 正方体的棱长为,,N 是的中点,则=( )A. B. C. D. 课后作业 1.如图,在棱长为 1 的正方体中,点分别为的中点.⑴ 求证:;⑵ 求与所成角的余弦值;⑶ 求的长.