（新课程）2013高中数学 第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切教案（3） 苏教版必修4VIP专享

第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用.教学过程：Ⅰ.课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则 AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形 ABCD 的面积S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2当 sin2θ＝1，即 2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S不难看出，这时 A、D 两点与 O 点的距离都是 a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.Ⅱ.讲授新课［例 1］求证 sin2＝分析：此等式中的 α 可作为的 2 倍.证明：在倍角公式 cos2α＝1－2sin2α 中以 α 代替 2α，以代替 α，即得cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝请同学们试证以下两式:(1)cos2＝ (2)tan2＝证明：(1)在倍角公式 cos2α＝2cos2α－1 中以 α 代替 2α、以代替 α，即得 cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝(2)由 tan2＝ sin2＝ cos2＝ 得 tan2＝这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三式中，如果知道 cosα 的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得 sin、cos 与 tan.下面，再来看一例子.［例 2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将 S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.证明：由 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②①＋②得：sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］请同学们试证下面三式：(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］1(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］证明：(1)由 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin...