第四课时 向量的数乘(一)教学目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；教学难点：对向量共线的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.已知非零向量 a，我们作出 a＋a＋a 和(－a)＋(－a)＋(－a).由图可知，OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a，我们把 a＋a＋a 记作 3a，即OC＝3a，显然 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即｜3a｜＝3｜a｜. 同样，由图可知，PN＝PQ＋QM＋MN＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我们把(－a)＋(－a)＋(－a)记作－3a，即PN＝－3a，显然－3a 的方向与 a 的方向相反，－3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.上述过程推广后即为实数与向量的积.1.实数与向量的积实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，其长度和方向规定如下：(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜(2)当 λ＞0 时，λ a 与 a 同向；当 λ＜0 时，λ a 与 a 反向；当 λ＝0 时，λ a＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.2.实数与向量的积的运算律(1)λ (μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ (a＋b)＝λa＋λb说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.说明：(1)推证过程引导学生自学；(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过 0 与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.［例 1］若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a，b 是已知向量，求 m，n.1分析：此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程，通过方程组的求解获得 m、n.解：记 3m＋2n＝a①m－3n＝b②3×② 得 3m－9n＝3b③①－③得 11n＝a－3b.∴n＝a－b④将④代入②有：m＝b＋3n＝a＋b评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元...
