第 1 讲 数学思想数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识．在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等．数学思想的学习与应用主要有以下两个难点： 一是不会从数学思想的角度去分析问题，二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题，但方法欠恰当，想法欠成熟．一 函数与方程思想 函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y＝f(x)，当 y>0 时，就转化为不等式 f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数 n 的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决． 已知椭圆 C1：＋＝1 和圆 C2：x2＋(y＋1)2＝r2(r>0)，若两条曲线没有公共点，求r 的取值范围．【解】 思路一：用函数思想来思考． 从 C1和 C2的方程中消去一个未知数，比如消去 x，得到一个关于 y 的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①由方程①变形为 r2＝－y2＋2y＋10．把 r2＝－y2＋2y＋10 看作 y 的函数．由椭圆 C1可知，－2≤y≤2，因此，求使圆 C2与椭圆 C1有公共点的 r 的集合，等价于在定义域为[－2，2]的情况下，求函数 r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10 的值域．由 f(－2)＝1，f(2)＝9，f＝，可得 f(y)的值域是 r2∈，即 r∈，它的补集就是圆 C2与椭圆 C1 没有公共点的 r 的集合，因此， 两条曲线没有公共点的 r 的取值范围是 0．思路二：用方程思想来思考．从 C1和 C2的方程中消去一个未知数，比如消去 x，得到一个关于 y 的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0 或者没有实数根，或者两个根y1，y2∉[－2，2]．若没有实数根，则 Δ＝4－4(10－r2)<0, 解得 r>或 r<－(由 r>0，知 r<－应舍去)．若两个根 y1，...
