第 3 节 函数的奇偶性与周期性考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于任意的 x∈A，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于任意的 x∈A，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么称函数 y＝f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a(a>0).(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0).(4)若 f(x＋a)＋f(x)＝c，则 T＝2a(a>0，c 为常数).4.对称性的三个常用结论(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)函数 y＝x2在 x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)＝0.( )(3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数 f(x)满足关系 f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于点对称.( )解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x＝0 处有意义时才满足 f(0)＝0，(2)错.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(新教材必修第一册 P84 例 6 改编)下列函数中为偶函数的是( )A.y＝x2sin x B.y＝x...
