第 8 节 函数与方程考试要求 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，理解函数零点存在定理.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念我们把使函数 y＝f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系函数 y＝f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0 的实数根⇔y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)一般地，若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点( x 1， 0) ， ( x 2， 0) ( x 1， 0) 无交点零点个数210[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根.2.由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0，如图所示，所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)(1)函数 f(x)＝lg x 的零点是(1，0).( )(2)图象连续的函数 y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D 内有零点，则 f(a)·f(b)<0.( )(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点.( )解析 (1)f(x)＝lg x 的零点是 1，故(1)错.(2)f(a)·f(b)＜0 是连续函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案 (1)× (2)× (3)√2.(教材必修 1P93 例 3 改编)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2 与 x＝3 这两个数字对应的函数值的符号不同，即 f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.答案 B3.(新教材必修第一册 P143 例 1 改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 由 f′(x)＝ex＋3>0，得 f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数 f(x)有且只有一个零点.答案...
