高考热点追踪(一)函数中的新定义问题用数学符号或文字叙述给出一个新定义，利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题，叫新定义题．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化． (2019·无锡市高三上学期期末考试)若函数 f(x)在[m，n](m＜n)上的值域恰好是[m，n]，则称[m，n]为函数 f(x)的一个“等值映射区间”．下列函数：① y＝x2－1；② y＝2＋log2x；③ y＝2x－1；④ y＝，其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个．【解析】 根据新定义可知，存在唯一一个“等值映射区间”的函数与另一函数 y＝x 的图象有两个交点，且在[m，n](m＜n)上的值域恰好为[m，n]，可见两函数在[m，n]上均单调递增．对于① y＝x2－1，根据新定义可得，x2－1＝x，方程有两个解，即函数 y＝x2－1 与函数y＝x 的图象有两个交点，但在同一增区间上只有一个交点，故①不满足题意；对于② y＝2＋log2x，根据新定义可得，2＋log2 x＝x，方程有两个解，即函数 y＝2＋log2x 与函数 y＝x 的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故②满足题意；对于③ y＝2x－1，根据新定义可得，2x－1＝x，方程有两个解，即函数 y＝2x－1 与函数y＝x 的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故③满足题意；对于④ y＝，根据新定义可得，x2－x＝1(x≠1)，方程有两个解，即函数 y＝与函数 y＝x的图象有两个交点，但 y＝不单调递增，故④不满足题意．所以存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 2 个．【答案】 2[名师点评] 创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解决．不等式恒成立问题的解题策略恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此类问题的常用方法．一、反客为主——更换主元有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果． 对任意的|m|≤2，函数 f(x)＝mx2－2x＋1－m 恒负，则 x 的取值范围为________．【解析】 设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则有即解得
