函数与导数热点问题 三年真题考情核心热点真题印证核心素养利用导数研究函数的性质2019·Ⅲ，20；2018·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理利用导数研究函数的零点2019·Ⅱ，20；2019·江苏，19；2018·Ⅱ，21(2)数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2019·Ⅰ，20；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理 热点聚焦突破教材链接高考——导数在不等式中的应用[教材探究](选修 2－2P59T13：求证：当 x∈(0, )时，x>sin x 改编利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(1)ex>1＋x(x≠0)；(2)ln x0).[试题评析] 1.问题源于求曲线 y＝ex在(0，1)处的切线及曲线 y＝ln x 在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数 f(x)＝ex－x－1 与 g(x)＝x－ln x－1 对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(2)题可以看作第(1)题的推论.在第(1)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到 x>1＋ln x(x>0 且 x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>ln x(x>0 且 x≠1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】 （一题多解）试证明：ex－ln x>2.证明 法一 设 f(x)＝ex－ln x(x>0)，则 f′(x)＝ex－，令 φ(x)＝ex－，则 φ′(x)＝ex＋>0 在(0，＋∞)恒成立，所以 φ(x)在(0，＋∞)单调递增，即 f′(x)＝ex－在(0，＋∞)上是增函数，又 f′(1)＝e－1>0，f′＝－2<0，∴f′(x)＝ex－在内有唯一的零点.不妨设 f′(x0)＝0，则 ex0＝，从而 x0＝ln ＝－ln x0，所以当 x>x0时，f′(x)>0；当 02，x0∈.故 ex－ln x>2.法二 注意到 ex≥1＋x(当且仅当 x＝0 时取等号)，x－1≥ln x(当且仅当 x＝1 时取等号)，∴ex＋x－1>1＋x＋ln x，故 ex－ln x>2.探究提高 1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点 x0∈；(2)确定 ex0＝，x0＝－ln x0的关系；(3)基本不等式的利用.2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若 a≥0...
