第四节数系的扩充与复数的引入————————————————————————————————[考纲传真]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ＝(a，b)．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.图4411．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()图442A．AB．BC．CD．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0B．2C．2iD．2＋2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]4．(2016·北京高考)复数＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－iA[法一：＝＝＝i.法二：＝＝＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]复数的有关概念(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝()A．1B．－1C.＋iD.－i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.【导学号：31222156】(1)D(2)－2[(1) z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，∴＝＝－i.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1](1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为()A．－B．－C.D.(2)设z＝＋i，则|z|＝()A.B.C.D．2(1)D(2)B[(1)复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D.(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，|z|＝＝.]复数代数形式的四则运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．(1)C(2)2[(1) (z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C.(2) (1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.][规律方法]1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．[变式训练2](1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)已知i是虚数单位，8＋2018＝________.(1)D(2)1＋i[(1)由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.(2)原式＝8＋1009＝i8＋1009＝i8＋i1009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几...
