不定方程的整数解修改稿(13 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一次不定方程的整数解讲稿序言 什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，假如未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如 2x－y－1＝0，则：y＝2x－1.分别令 x＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的 n 值.我们可以列表说明：x12345678…y13579111315…∴它的解有无穷多组：，，，，，…….也就是说：2x－y－1＝0 的所有的解（称为通解）为：y＝2x－1.注意：上面只列出了它的正整数解.假如用 k 代替 x，用 n 代替 y，并且 k 和 n 只代表正整数，得到的答案是：2k－n－1＝0 的所有的解（称为通解）为：n＝2k－1. n＝1，3，5，7，9，….这个结论表明：假如 k 取一切正整数 1，2，3，…，那么 n 表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）. 请记住这个结论：n＝2k－1 表示所有的奇数.又如 x－2y＝300 的解是：x＝2y＋300，每给出一个 y 的值，就有一个 x 的值与之对应.例如 y＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的 x 值，我们可以列表说明：x300302304306…200100…y0123…－50－100…∴它的解有无穷多个.又如 方程组，(2)－(1) 消去一个未知数 y 之后，就变形为一个二元一次方程：2y－z＝80所以它的解也是不确定的．像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组．例 1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取 3 个，最后余 2 个；每次取 5个，最后也是余 2 个；每次取 7 个，最后还是余 2 个；问这堆鹅卵石共多少个? …余 …余…余分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被 3 除，被 5 除或者被 7 除，都余 2；求这个数.假如列方程组就是：求个正整数 M：我们不妨这样来解：因为这个整数不论被 3 除，被 5 除或者被 7 除，总是余2；我们先求出它的一个特解： 3×5×7＝105 可以被 3、5、7 整除，∴3×5×7＋2 被 3、5、7 除余数都是 2，∴105＋2＝107 就是这个问题的一个特解； 3×5×7 ×n 也可以被3、5、7 整除，∴这个问题的特解 107 加上 105n 之后，被 3、5、7 除，余数也是 2；∴其通解是 107＋105n.例 2 现在把上一个问题改为：每次取 3 个，最后余 2 个；每次取 5 个，最后余3 个；每次取 7 个，最后余 2 个；问这堆鹅卵石共多少个? …余 …余…余分析与解：我们不妨凑凑...
