第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾 1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解，显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。反过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x－2y=1 都没有整数解， （9，3）＝3，而 3 不能整除 10；（4，2）＝2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x== (1) , 设是整数），则 y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得 x=k－2(1－5k)=11k－2∴原方程所有的整数解是（k 是整数）方法二：公式法：设 ax+by=c 有整数解则通解是（x0,y0 可用观察法）3、 求二元一次方程的正整数解：i.求出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值ii.用观察法直接写出。二、例题辨析 例 1、我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。例： 由，得，（、为正整数） 则有.又为正整数，则为正整数.由 2 与 3 互质，可知：为 3 的倍数，从而，代入.的正整数解为问题：（1）请你写出方程的一组正整数解： （2）若为自然数，则满足条件的值有 个A、2 B、3 C、4 D、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为 3 元的笔记本与单价为 5 元的钢笔两种奖品，共花费 35 元，问有几种购买方案？ 变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87； 例 2、求方程 5x+6y=100 的正整数解 变式练习：求 11x+15y=7 的整数解．例 3、甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？。变式练习: 一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯 长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？例 5、a 取什么值时，方程组 的解是正数？变式练习 m 取何整数值时，方程组的解 x 和 y 都是整数？例 6、（古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是 3，4 枚铜板...
