专题三：数列综合题

专题三：数列综合题(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。首都师范大学附属丽泽中学培优讲座北京丰台二中特级老师 张健专题三：数列综合问题1.如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针 上全部移到另一根针上． a．每次只能移动一个金属片； b．在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将 n 个金 属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次数记为 f(n)． 则① f(3)＝________；② f(n)＝________. 解析 ① f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝2f(2)＋1＝7. ② 先把上面的 n－1 个金属片移到 2 号针，需要 f(n－1)次，然后把最下面的一个金属片移到 3 号针，需要 1 次，再把 2 号针上的 n－1 个金属片移到 3 号针，需要 f(n－1)次，所以 f(n)＝2f(n－1)＋1，得 f(n)＋1＝2[f(n－1)＋1]，故数列{f(n)＋1}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，所以 f(n)＋1＝2n，于是 f(n)＝2n－1.2.将全体正奇数排成一个三角形数阵：根据以上排列的规律，第 45 行从左向右的第 17 个数为________．解析 观察数阵，记第 n 行的第 1 个数为 an，则有a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，……an－an－1＝2(n－1)．将以上各等式两边分别相加，得 an－a1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，所以 an＝n(n－1)＋1，所以 a45＝1 981.又从第 3 行起数阵每一行的数都构成一个公差为 2 的等差数列，则第 45 行从左向右的第 17 个数为 1 981＋16×2＝2 013.3.等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解 (1)当 a1＝3 时，不合题意；当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；当 a1＝10 时，不合题意．因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3. 故 an＝2·3n－1 (n∈N*)．(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，所以 Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.当 n ...