第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,8,14导数几何意义3,7,9,16导数运算及几何意义综合4,5,6,10,11,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.函数f(x)=的导函数为(B)(A)f′(x)=(B)f′(x)=-(C)f′(x)=(D)f′(x)=-解析:函数的导数f′(x)===-.故选B.2.函数y=(ex+e-x)的导数是(A)(A)(ex-e-x)(B)(ex+e-x)(C)ex-e-x(D)ex+e-x解析:因为(e-x)′=-e-x,y=(ex+e-x),所以y′=(ex-e-x).故选A.3.导学号18702100已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由导数的几何意义可知f′(1)=,又因为f(1)=×1+2=,所以f(1)+f′(1)=3.故选C.4.(2016·湖南重点中学考前练习)在直角坐标系xOy中,设P是曲线C:xy=1(x>0)上任意一点,l是曲线C在点P处的切线,且l交坐标轴于A,B两点,则下列结论正确的是(A)(A)△OAB的面积为定值2(B)△OAB的面积有最小值为3(C)△OAB的面积有最大值为4(D)△OAB的面积的取值范围是[3,4]解析:由题意,y=(x>0),则y′=-.设P(a,),则曲线C在点P处的切线方程为y-=-(x-a),令x=0可得y=;y=0可得x=2a,所以△OAB的面积为××2a=2,即定值2.故选A.5.(2016·广西贺州市高考模拟)已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:y=aex+x的导数为y′=aex+1,可得曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线斜率为ae+1,由切线与直线2ex-y-1=0平行,可得ae+1=2e,解得a=.故选B.6.(2016·宁夏吴忠市高考模拟)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为(B)(A)9x+y+16=0(B)9x-y-16=0(C)9x-y+16=0(D)9x+y-16=0解析:函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x)=3x2+2ax+(a-3).因为f′(x)是偶函数,所以2a=0,得a=0,即f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,则f(2)=8-6=2,f′(2)=3×22-3=12-3=9,即(2,f(2))处切线的斜率为k=9,则对应的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.故选B.7.(2016·广西柳州市高三下4月模拟)函数g(x)=x3+x2+3lnx+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:当x=1时,g(1)=1++b=+b,又g′(x)=3x2+5x+,所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11,从而切线方程为y=11x-5,由于点(1,+b)在切线上,所以+b=11-5,解之得b=.故选B.8.(2016·湖南怀化市第二次高考模拟)已知函数f(x)=lnx-f′(1)x2+3x-4,则f′(1)=.解析:因为f(x)=lnx-f′(1)x2+3x-4,所以f′(x)=-2f′(1)x+3,所以f′(1)=1-2f′(1)+3,解得f′(1)=.答案:9.(2016·山东平度市第三次高考模拟)设函数f(x)=g(3x-2)+x2,函数y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程是y=2x+3,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.解析:因为f(x)=g(3x-2)+x2,所以f′(x)=3g′(3x-2)+2x.因为y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+3,所以g(1)=5,g′(1)=2,所以f′(1)=3g′(1)+2×1=6+2=8,f(1)=g(1)+1=6,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为8.所以切线方程为8x-y-2=0.答案:8x-y-2=010.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.x>0,因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+≥2.答案:[2,+∞)能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702101已知曲线f(x)=x3-x2+ax-1存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a的取值范围为(B)(A)(3,+∞)(B)(3,)(C)(-∞,](D)(0,3)解析:f(x)=x3-x2+ax-1的导数为f′(x)=2x2-2x+a,由题意可得2x2-2x+a=3,即2x2-2x+a-3=0有两个不等的正根,设为x1,x2,则Δ=4-8(a-3)>0,x1+x2=1>0,x1x2=(a-3)>0,解得3
0)与曲线y=ln有公共点,且在公共点处的切线相同,则a的值为(D)(A)e(B)e2(C)(D)解析:y=ln=lnx,设公共点的坐标为(m,lnm),由于函数y=f(x)=a(a>0)的导数f′(x)=,曲线y=g(x)=lnx的导数g′(x)=,则f′(m)=,g′(m)=.则由题意知f′(m)=g′(m),f(m)=g(m),得=(m>0),a=ln,即a=,即ln=1,得=e,则a==.故选D.13.(2017·河北衡水中学高三上学期一调考试)设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围...
