第3课时导数与函数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，年产量是()A．100B．150C．200D．300解析由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝又P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．答案D2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是()A．(－2,0)∪(2∞，＋)B．(－2,0)∪(0,2)C．(∞－，－2)∪(2∞，＋)D．(∞－，－2)∪(0,2)解析x>0′时<0，∴φ(x)＝在(0∞，＋)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0
0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(∞－，－2)∪(0,2)．答案D3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(∞－，7]B．(∞－，－20]C．(∞－，0]D．[－12,7]解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)． f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20，∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.答案B4．(2017·景德镇联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．当10，则a的取值范围是()A．(2∞，＋)B．(1∞，＋)C．(∞－，－2)D．(∞－，－1)解析a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意．则a<0，由图像结合f(0)＝1>0知，此时必有f>0，即a×－3×＋1>0，化简得a2>4.又a<0，所以a<－2.答案C二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于040时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．答案407．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(∞－，－1)，(1∞，＋)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案－2或28．(2017·长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________．解析构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0∞，＋)．答案(0∞，＋)三、解答题9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.(2)因为a＝1，所以，y＝＋，y′＝k，令y′＝0，得x＝，又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.10．(2017·榆林月考)已知函数f(x)＝lnx－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)0得解得01时，F(x)
