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单自由度系统(自由振动)(4页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。§2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图 1.1 所示。设质量为 m，单位是 kg。弹簧刚度为K，单位是 N／m，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力 W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K，当其等于重力 W 时，则处于静平衡位置，即 W=K若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标 x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量 m 向下运动到 x，此时弹簧恢复力为 K(+x)，显然大于重力 W，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与 x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程改写为(1-1-1令(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为(1-1-3)设方程的特解为 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为则(1-1-3)的通解为(1-1-4)C、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设 t=0 时（1-1-5）m未挂质量位置静平衡位置k一自由度弹簧—质量系统Wx则（1-1-6）经三角变换，又可表示为（1-1-7）其中 （1-1-8）自由振动的振幅 A 和初相位角与系统的参数和初始条件有关。系统的振动周期 秒（s）系统振动的频率为 秒-1(s-1)或(Hz)系统振动的圆频率为弧度/秒(rad/s)§2-2 能量法系统的动能 T 与势能 U 之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即T+U=常量（2-2-1）因而有 （2-2-2）应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。设物体按 x=Asin（n+）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置 x 时的动能 T 和势能 U 分别为将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。当物体运动经过平衡位置 x=0 时，动能达最大值当物体位移最大时，即 x=A，T=0，U 达最大值 因此 Tmax=Umax（2-2-3）即 得 §2-3 阻尼系统的自由振动实际系...