向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的讨论成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法推断，利用齐次线性方程组的解推断，利用矩阵的秩推断，利用行列式的值推断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组都为维向量，假如数域中存在一组不全为零的数 ,使则称向量组是线性相关, 反之，若数域中没有不全为零的数，使 ，称它是线性无关.3 向量组线性相关和线性无关的判定方法3.1 一个与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题 1 一个线性相关的是它是一个. 关于两个向量的线性相关性推断可以转化为向量的成比例推断. 命题 2 两个维向量，线性相关的充要条件是与对应成比例.证明 假设，线性相关，则存在不全为 0 的数，使得,即,不妨设,令 则因此.也就是说与成比例. 反过来，若，，所以线性相关.3.2 多个向量的线性相关与线性无关判别方法命题 3 若向量组线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.证明 设线性相关，是包含的一组向量，由于线性相关，则存在一组不全为零的数使得此时有,因此，线性相关.证毕.由命题 3 可知，在多个向量构成的向量组中，假如该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题 4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义推断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想推断一个向量...