第十讲 图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是讨论几何图形在运动中不变的那些性质的学科.几何变换是指把一个几何图形％变换成另一个几何图形％的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换.如图 1,若把平面图形％上的各点按一定方向移动一定距离得到图形％后，则由的变换叫平移变换.平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等.如图 2,若把平面图％绕一定点旋转一个角度得到图形％,则由％到％的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角.旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等.通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决.注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换.等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变，而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变.例题求解【例 1】如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA： PB: PC = 1:2： 3,则 ZAPD=.思路点拨通过旋转，把 PA、PB、PC 或关联的线段集中到同一个三角形.【例 2】 如图，在等腰 Rt AABC 的斜边 AB 上取两点 M, N,使 ZMCN=45°，记 AM = m, MN= x,DN=n，则以线段 x、m、n 为边长的三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形'「"溥C.钝角三角形 D.随 x、m、n 的变化而改变,〉\第 1 页（共 8 页）《匕一£）思路点拨 把^ACN 绕 C 点顺时针旋转 45° ,得 ACBD,这样 ZACM+ZBCN=45°就集中成一个与 NMCN 相等的角，在一条直线上的 ni、「x、n 集中为△DNB,只需判定的形状即可.S 1注下列情形，常实施旋转变换：(1) 图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为 60。、90° ;(2) 图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转 180° ,构造中心对称全等三角形；(3) 图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合.【例 3】如图，六边形 ADCDEF 中，AN//DE, BC II EF, CD II AF,对边之差 BC - EF = ED-AB = AF-CD>0,求证：该六边形的各角相等./\(全俄数学奥林匹克竞赛题)/思路点拨 设法将复杂的条件 BC-FF=ED-AB=AF-CD> 0 用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换.注 平移变换常与平...
