§10.1椭圆及其性质考点一椭圆的定义与标准方程7.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.8.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案12解析解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2[+],故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连结PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12.评析本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算能力,也考查数形结合思想,难度适宜.9.(2012陕西,19,12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=1.(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以=,将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以=,又由=2,得=4,即=,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以=,由=2,得=,=,将,代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.评析本题考查了直线和椭圆的方程,考查了待定系数法.考查了运算求解能力及方程思想.考点二椭圆的几何性质及应用12.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.
