§10.3抛物线及其性质考点一抛物线的定义与标准方程8.(2012陕西,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.答案2解析建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x2=-2py.∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±.∴水位下降1米后,水面宽为2米.评析本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.9.(2012山东,21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解析(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,因为抛物线C的准线方程为y=-,所以=,即p=1.因此抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y'='=x0,所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0),令y=,得xQ=+,所以Q.又|QM|=|OQ|,故+=+,因此=,又x0>0,所以x0=,此时M(,1),故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0=时,由(2)得Q,☉Q的半径为r==,所以☉Q的方程为+=.由整理得2x2-4kx-1=0,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于Δ2=+>0,x3+x4=,x3x4=-,所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)++.令1+k2=t,由于≤k≤2,则≤t≤5.所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++=4t2-2t++,设g(t)=4t2-2t++,t∈,因为g'(t)=8t-2-,所以当t∈时,g'(t)≥g'=6,即函数g(t)在t∈上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.评析本题考查抛物线的定义、导数及函数的最值等知识,考查学生的运算求解、逻辑推理及分析问题、解决问题的能力,运算能力较差是学生解答本题出错的主要原因.考点二抛物线的几何性质8.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1D.答案B由抛物线y2=4x,有2p=4p=2,⇒焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条x-y=0,由点到直线的距离公式,有d==.故选B.评析考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力.9.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案6解析如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.10.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.答案[1,+∞)解析解法一:如图,以(0,a)为圆心,为半径作圆,当圆与抛物线有三个或四个交点时,C存在.联立y=x2,x2+(y-a)2=a,整理得(y-a)(y-a+1)=0.即y=a或y=a-1.故a-1≥0,即a≥1.解法二:当C与原点重合时,∠ACB最小.故若存在C使得∠ACB为直角,则∠AOB≤,即·≥0,故a2-a≥0,又a>0,所以a≥1.
