习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = R(cosωti+ sin ωtj)其中 ω 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1） 由 r = R(cosωti + sin ωtj) 知x = R cos ωt y = R sin ωt 消去 t 可得轨道方程 x 2 + y2 = R 22） v = ddtr = −ωR sin ωti+ ωRcosωtjv = [(−ωR sin ωt)2 + (ωR cos ωt)2 ] 12 = ωR1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = 4t 2 i + (3 + 2t) j ，式中 r 的单位为 m ，t 的单位为 s .求：（1）质点的轨道；（2）从 t = 0 到 t =1 秒的位移；（3） t = 0 和 t =1 秒两时刻的速度。解：1）由 r = 4t 2 i + (3 + 2t) j 可知x = 4t 2 y = 3 + 2t 消去 t 得轨道方程为：x = (y −3)22）v = ddrt = 8ti + 2 jr = ∫01 vdt = ∫01 (8ti + 2 j)dt = 4i + 2 j3） v(0) = 2 jv(1) = 8i + 2 j1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2 i + 2tj ，式中 r 的单位为m ，t 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速 度和法向加速度。解：1）v = ddrt = 2ti + 2 j a = ddvt = 2i2）v = [(2t)2 + 4] 12 = 2(t 2 +1) 12 a t=dv =2tdtt 2 +1a =a 2 − a 2 =2ntt2 +11-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y = v t + 1 at 2（1）图 1-4102 1 gt 2y2 = h + v0t −（2）2y1 = y2（3）解之t =2dg + a1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v0 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的 dr ， d v ， d v .dtdtdt
