第24练数列的综合问题[明考情]数列与函数方程、方程不等式的综合问题是高考的重点，往往和数列的通项、求和结合考查，在高考中经常出现.[知考向]1.数列与函数的综合.2.数列与不等式的综合.3.数列与其他知识的综合.考点一数列与函数的综合方法技巧(1)以函数为背景的数列问题，一般要利用函数的性质图象进行转化，得出数列的通项或递推关系.(2)数列中的函数问题，一般利用数列的性质研究函数的性质，用函数思想求解数列问题.1.设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)令bn＝，求数列的前n项和Sn.解(1)f(x)＝＋sinx，令f′(x)＝＋cosx＝0，得x＝2kπ±(k∈Z).由f′(x)＞0⇒2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，由f′(x)＜0⇒2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得极小值，所以xn＝2nπ－(n∈N*).(2)因为bn＝＝n－＝，所以＝·＝3，所以Sn＝3＝3＝.2.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)·g(an)＋f(an)＝0(n∈N*).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n.解(1)设f(x)＝a(x－1)2(a＞0)，则直线g(x)＝4(x－1)的图象与y＝f(x)的图象的两个交点为(1，0)，.因为＝4(a＞0)，所以a＝1，所以f(x)＝(x－1)2.(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，因为(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，所以(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0.因为a1＝2，所以an≠1，所以4an＋1－3an－1＝0，所以an＋1－1＝(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列，所以an－1＝n－1，即an＝n－1＋1.(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)，令bn＝y，u＝n－1，则y＝3＝32－.因为n∈N*，所以u的值分别为1，，，，…，经比较距最近，所以当n＝3时，bn有最小值－，当n＝1时，bn有最大值0.3.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an＜2；(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.(1)解令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，∴f(n)＝n.(2)证明设Tn为{an}的前n项和， an＝n·f(n)＝n·n，∴Tn＝＋2·2＋3·3＋…＋n·n，Tn＝2＋2·3＋3·4＋…＋(n－1)·n＋n·n＋1，两式相减，得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n·n＋1，∴Tn＝2－n－1－n·n＜2.即a1＋a2＋a3＋…＋an<2.(3)解 f(n)＝n，∴bn＝(9－n)＝(9－n)＝，∴当n≤8时，bn＞0；当n＝9时，bn＝0；当n＞9时，bn＜0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值.考点二数列与不等式的综合方法技巧(1)数列中的最值问题可以利用基本不等式求解.(2)与数列求和有关的不等式证明可以对中间过程或最后结果放缩得到.(3)可利用比较法或数列的单调性解决比较大小问题.4.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求实数a的取值范围.解(1)依题意，得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n+1＝2(Sn－3n)，因此bn＋1＝2bn.当a≠3时，{bn}为等比数列，且首项b1＝a－3，公比q＝2，所以通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.①当a＝3时，b1＝a－3＝0，bn＝2bn－1＝22bn－2＝23bn－3＝…＝2n－1b1＝0，也适合①式.故数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，则an＋1－an＝2×3n＋(a－3)·2n－1－2×3n－1－(a－3)2n－2＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2[12×n－2＋a－3]，当n≥2时，an＋1≥an⇒12×n－2＋a－3≥0⇒a≥－9.又a2＝a1＋3＞a1成立，所以所求实数a的取值范围是[－9，＋∞).5.已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知＝，求证：≤＋＋…＋＜1.(1)解因为3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝.因此，＝3·，＝3...
