常用微分公式

§13 微分公式(甲)基本函数得微分公式(1)=nxn1,nN 。 (2)。 (3)=0,其中 c 为常数。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=sinx另一种表示: (xn)/=nxn1  =  (c)/=0证明:(2)设 a 为 f(x)=定义域中得任意点, 则 f /(a)= == === (4)设 a 为任意实数,f(x)=sinx = = 计算 f /(a)= ==cosa。(1)(3)(5)自证(乙)导数得四则运算(1)f(x)与 g(x)为可微分得函数。f(x)+g(x)为可微分得函数。 且(f(x)+g(x))= (f(x))+ (g(x))成立。 另一种表示:(f(x)+g(x))/=f /(x)+g/(x) 证明:令 h(x)=f(x)+g(x),设 a 为 h(x)定义域中得任一点 h/(a)= = =( + )=()+() =f /(a)+g/(a)例:求？推论:(f1(x)+f2(x)+、、、+fn(x)) = (2)设 f(x)为可微分得函数。cf(x)为可微分得函数。 且(cf(x))=c,特别 c= 1 时,(f(x))=。 (3),另一种表示:(f(x)g(x))/=f /(x)g/(x)(4) (c1f1(x)+c2f2(x)+、、、+cnfn(x))= c1(f1(x))+c2(f2(x))+、、、+cn(fn(x))例如:(1) (anxn+an1xn1+、、、+a1x+a0) (2)(3x52x3+4)/ =？(5)f(x),g(x)为可微分得函数。f(x)g(x)为可微分得函数。 且 (f(x)g(x))= (f(x))g(x)+f(x) (g(x)) 另一种表示:(f(x)g(x))/=f /(x)g(x)+f(x)g/(x) 证明:例如:试求下面我们要推导例 2 得一般情形:(a)=(b)(逐次轮流微分)(c)假如,则可得例如:试求得导数。[例題1] 证明。(6)若 f(x),g(x)在 x=a 可微分,且, 则。 因此可得: 若 f(x)=1,则()/= 例如:试求得导函数。例如:求()/=？例如:设为负有理数,证明。结论:若设 r 为有理数,则。[例題2] 求下列各函数得导函数:(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x2)3(x21) (3)(x2+x+1)(4x3+x4)(x+3)(3) (4)Ans:(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x2)2(5x24x3) (3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x4) (4) (5)[例題3] 请利用(sinx)/=cosx,(cosx)/=sinx 得结果证明:(tanx)/=sec2x,(secx)/=secxtanx(練習1.)试求下列得导函数:(1)x36x2+7x11 (2)(x3+3x)2(2x+1) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5Ans:(1)3x212x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x) (3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)(6x+1) (4) 5(2x3+x+1)4(6x2+1)(練習2.)求下列各函数得导函数。(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=Ans:(1) (2) (3) (12x2+6x+2) (4)(練習3.)证明,(丙)...