平面法向量求法及应用(6页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。平面法向量的求法及其应用引言：本节介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道 12 分的立体几何题将会变得更加轻松。一、平面的法向量 1、定义：假如，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量;若平面与 3 个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（θ 为 , 两者交角，且），而与 , 皆垂直的向量。通常我们实行「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向图 1-1C1CByFADxA1D1 zB1E时，大拇指所指的方向规定为的方向,。 （注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）例1、 已知，，试求（1）：（2）：Key: (1) ;例 2、如图 1-1,在棱长为 2 的正方体中，求平面 AEF 的一个法向量。二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图 2-1，设是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，，则 AB 与平面所成的角为：图 2-1-1:图 2-1-2:ABα图 2-1-2C图 2-1-1αBAC(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图 2-2）;(图 2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 2-2 中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3 中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导...
