《高等数学》课程电子教案(节选)微积分学的基本定理与基本公式教学内容：1、微积分学的基本定理与基本公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。教学目的：1、理解微积分学的基本定理与基本公式的涵义和重要性；2、熟练掌握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的基本定理与基本公式教学手段：讲授§6.2若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的。本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式。1.微积分学基本定理设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则对[a,b]中的每个x，f(x)在[a,x]上的定积分都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x对应，从而在[a,b]上定义了一个新的函数，它是上限x的函数，记作Ф(x)，即，x[a,b]这个积分通常称为变上限积分.定理6.2.1设f(x)在[a,b]上可积，则Ф(x)=是[a,b]上的连续函数。证任取x[a,b]及Δx≠0，使x+Δx[a,b]。根据积分对区间的可加性，=Ф(x+Δx)-Ф(x)=。由于f(x)在[a,b]上可积，从而有界，即存在M＞0，使对一切x∈[a,b]有|f(x)|≤M，于是||=≤M|Δx|.故当Δx→0时有→0.所以Ф(x)在x连续，由x∈[a,b]的任意性即知Ф(x)是[a,b]上的连续函数.定理6.2.2(原函数存在定理)设f(x)在[a,b]上连续，则Ф(x)=在[a,b]上可导，且Ф'(x)=f(x)，x∈[a,b]，也就是说Ф(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.证任取x∈[a,b]及Δx≠0，使x+Δx∈[a,b].应用积分对区间的可加性及积分中值定理,有=Ф(x+Δx)-Ф(x)==f(x+θΔx)Δx,或=f(x+θΔx),(0≤θ≤1).(2.1)由于f(x)在[a,b]上连续，.故在(2.1)中令Δx→0取极限,得=f(x).所以Ф(x)在[a,b]上可导,且Ф'(x)=f(x).本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题.它明确地告诉我们:连续函数必有原函数,并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数f(x)的一个原函数.回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数.这里若把Ф'(x)=f(x)写成.或从dФ(x)=f(x)dx推得,就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算.从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来,组成一个有机的整体.因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理.推论6.2.1设f(x)为连续函数，且存在复合f[(x)]与f[(x)],其中(x),(x)皆为可导函数,则.(2.2)证令Ф(x)=,a为f(x)的连续区间内取定的点.根据积分对区间的可加性,有=Ф[(x)]-Ф[(x)].由于f(x)连续,所以Ф(x)为可导函数,而(x)和(x)皆可导,故按复合函数导数的链式法则,就有=.所以(2.2)式成立.例1.证明:若f(x)在(-,+)内连续,且满足f(x)=,则f(x)≡0.证由假设知f(x)=在(-,+)内可导,且f'(x)=f(x).令F(x)=f(x),x∈(-,+),则F'(x)=f'(x)e-x-f(x)e-x=0.所以F(x)≡c,x∈(-,+).由于F(0)=f(0)=0,可得F(x)≡0.从而有f(x)=F(x)ex≡0,x∈(-,+).例2．求解：应用洛比达法则，原式2．牛顿——莱布尼兹公式定理6.2.3设在上连续，若是在上的一个原函数，则.（2.3）证根据微积分学基本定理，是在上的一个原函数。因为两个原函数之差是一个常数，所以，上式中令，得，于是.再令，即得(2.3)式。在使用上，公式(2.3)也常写作，或。公式(2.3)就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N—L公式。它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：在上的定积分等于它的任一原函数在上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径。它把定积分的计算转化为求它的被积函数的任意一个原函数，或者说转化为求的不定积分。在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的。因此N—L公式也被称为微积分学基本公式。例3计算下列定积分（1）；（2）（）；（3）；（4）。解（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式例4设，求。解。§6.3定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决，但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求。在定积分的计算中，除了应用N—L公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定...
