解答题滚动练11.(2017届长郡中学模拟)四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2.(1)求cosA－cosC的值；(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S＋S的最大值.解(1)在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝16－8cosA，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝8－8cosC，所以cosA－cosC＝1.(2)依题意S＝AB2·AD2sin2A＝12－12cos2A，S＝BC2·CD2sin2C＝4－4cos2C，所以S＋S＝12－12cos2A＋4－4cos2C＝16－4(cosC＋1)2－4cos2C＝－8cos2C－8cosC＋12＝－82＋14，因为2－2＜BD＜4，所以8－8cosC＝BD2∈.解得－1＜cosC＜－1，所以S＋S≤14，当cosC＝－时取等号，即S＋S的最大值为14.2.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设bn＝，数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜.(1)解∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn＝na1＋d＝n2－n＋na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S＝S1·S4，即(22－2＋2a1)2＝a1·(42－4＋4a1)，化为(1＋a1)2＝a1(3＋a1)，解得a1＝1.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)证明由(1)可得an＝2n－1，则bn＝＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋＋…＋＝＝＝－.∵n∈N*，∴＞0，∴－＜，即Tn＜.综上所述，Tn＜.3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°，AC＝2AA1＝4，点D，E分别是AA1，BC的中点.(1)证明：DE∥平面A1B1C；(2)若AB＝2，∠BAC＝60°，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.(1)证明取AC的中点F，连接DF，EF，∵E是BC的中点，∴EF∥AB，∵ABC－A1B1C1是三棱柱，∴AB∥A1B1，∴EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C，∵D是AA1的中点，∴DF∥A1C，∴DF∥平面A1B1C.又EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面A1B1C，∴DE∥平面A1B1C.(2)解过点A1作A1O⊥AC，垂足为O，连接OB，∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC.∵∠A1AC＝60°，AA1＝2，∴OA＝1，OA1＝，∵AB＝2，∠OAB＝60°，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcos∠BAC＝3，∴OB＝，∠AOB＝90°，∴OB⊥AC，分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题设可得A(0，－1，0)，C(0，3，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，D，E，∴AB＝(，1，0)，AA1＝(0，1，).设m＝是平面ABB1A1的一个法向量，则即令z1＝1，∴m＝(1，－，1)，∵DE＝，∴cos〈m，DE〉＝＝，∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.4.已知函数f(x)＝x2－x，g(x)＝ex－ax－1.(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x＞0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.解(1)g′(x)＝ex－a.①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.②当a＞0时，当x∈(－∞，lna)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.(2)当x＞0时，x2－x≤ex－ax－1，即a≤－x－＋1.令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，则h′(x)＝.令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)，则F′(x)＝x(ex－2).当x∈(0，ln2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增.又F(0)＝0，F(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，F(x)＜0，即h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，F(x)＝(x－1)(ex－x－1)＞0，即h′(x)＞0，h(x)单调递增.所以h(x)min＝h(1)＝e－1，所以a∈(－∞，e－1].
