高考数学总复习 考前三个月 压轴小题突破练 6 与新定义、推理证明有关的压轴小题 理试题VIP免费

6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7B.6C.5D.4答案A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案C解析因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝答案C解析根据题意，当x＝16时，y＝1，所以选项A，B不正确，当x＝17时，y＝2，所以D不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A.设数列{an}的前n项和为Sn，由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B.由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C.由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πabD.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n答案A解析选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列：(1，1)(1，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)…若第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3，2)，则anm等于()A.(m，n－m＋1)B.(m－1，n－m)C.(m－1，n－m＋1)D.(m，n－m)答案A解析由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1).6.若函数f(x)，g(x)满足ʃf(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析对①，dʃx＝sinʃxdx＝－cosx|＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的正交函数；对②，(ʃx＋1)(x－1)dx＝(ʃx2－1)dx＝|≠0，则f(x)，g(x)不是区间[－1，1]上的正交函数；对③，ʃx3dx＝|＝0，则f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的正交函数.7.已知点A(0，1)，点B在曲线C1：y＝ex－1上，若线段AB与曲线C2：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称点B为曲线C1与曲线C2的一个“相关点”，记曲线C1与曲线C2的“相关点”的个数为n，则()A.n＝0B.n＝1C.n＝2D.n＞2答案B解析设B(t，et－1)，则AB的中点为P，所以有＝，et＝，所以“相关点”的个数就是方程ex＝解的个数，由于y＝ex的图象在x轴上方，且是R上的增函数，y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上...