【2025年秋季】人教九年级数学上册21.2.1 第1课时 直接开平方法-名师学案

22.2.1 配方法第 1 课时 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1．填空（1）x2-8x+____=（x-___）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+___）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题 2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2？ 老师点评： 问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得：x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得 x=±2 即 x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 2秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 二、探索新知BCAQwww.czsx.com.cnP 上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±2，如果 x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2 即 2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为 t1=-，t2=-- 例 1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率． 分 析 ： 设 每 年 人 均 住 房 面 积 增 长 率 为 x ． 一 年 后 人 均 住 房 面 积 就...