专题01函数的性质及其应用【自主热身,归纳提炼】1、已知定义在R上的奇函数f(x),当x＞0时,f(x)＝2x－x2,则f(0)＋f(－1)＝________.【答案】：－1【解析】：因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1,因此f(0)＋f(－1)＝－1.2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝2x－3,则不等式f(x)≤－5的解集为________．【答案】(－∞,－3]【解析】：当x＞0时,f(x)＝2x－3＞－2；因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0；当x＜0时,－x＞0,所以f(－x)＝2－x－3,f(x)＝－2－x＋3,此时不等式f(x)≤－5可化为－2－x＋3≤－5,解得x≤－3.综上所述,该不等式的解集为(－∞,－3]．3、若函数f(x)＝(a,b∈R)为奇函数,则f(a＋b)的值为________．【答案】：－1解法2因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)的图像关于原点对称,当x＞0,二次函数的图像顶点为,－,当x＜0,二次函数的图像顶点为(－1,－a),所以－＝－1,－＝a,解得a＝－1,b＝2,经验证a＝－1,b＝2满足题设条件,所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.4、设函数y＝ex＋－a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞,2]【解析】：因为ex>0,所以y＝ex＋－a≥2－a＝2－a,当且仅当ex＝1,即x＝0时取等号．故所求函数的值域A＝[2－a,＋∞)．又A⊆[0,＋∞),所以2－a≥0,即a≤2.5、设f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝2x＋ln,记an＝f(n－5),则数列{an}的前8项和为________.【答案】：－16【解析】数列{an}的前8项和为f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－24＋ln＝－16.6．设是定义在R上的周期为2的函数,当时,,则的值为________．【答案】1【解析】,因为函数周期为2,所以,于是,所以代入已知【解析】式中,有,即．7、已知函数f(x)＝是R上的增函数,则实数k的取值范围是________．【答案】：≤k<1【解析】：由题意得解得≤k<1.本题中f(x)是R上的增函数,所以必须注意在x＝0处两段函数值的大小关系．8、定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a,b为常数)．若f(2)＝－1,则f(－6)的值为________．【答案】4【解析】：由题意得f(0)＝0,所以log22＋b＝0,所以b＝－1,f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x－1,又因为f(2)＝－1,所以log2(2＋2)＋2(a－1)－1＝－1,解得a＝0,f(x)＝log2(2＋x)－x－1,f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－6－1]＝4.【问题探究,开拓思维】例1、.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(－∞,0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2,则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是________．【答案】(－∞,2]【解析】：因为f(x)是定义在R上的奇函数,且在(－∞,0]上为单调增函数,所以f(x)在R上为单调增函数．又因为f(－1)＝－2,所以f(1)＝2,故f(2x－3)≤2＝f(1),即2x－3≤1,解得x≤2.【关联1】、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)＝x2＋x.若f(a)＋f(－a)＜4,则实数a的取值范围为________．【答案】.(－1,1)解法1(奇偶性的性质)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(a)＋f(－a)＝2f(|a|)<4,即f(|a|)<2,即|a|2＋|a|<2,(|a|＋2)(|a|－1)<0,解得－1
