专题 34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型 1.阿基米德折弦模型【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如图 1 所示，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是 的中点，则从 M向 BC 所作垂线之垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD。MBCADMBCADF MBCADGHMBCADG 图 1 图 2 图 3 图 4常见证明的方法：1）补短法：如图 2，如图，延长 DB 至 F，使 BF=BA；2）截长法：如图 3，在 CD 上截取 DG=DB；3）垂线法：如图 4，作 MH⊥射线 AB，垂足为 H。例 1．（2025·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 组成圆的折弦，AB＞BC，M 是弧 ABC 的中点，MFAB⊥于 F，则 AF＝FB+BC．如图 2，△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D 是 AB 上一点，BD＝1，作 DEAB⊥交△ABC 的外接圆于E，连接 EA，则∠EAC＝ °．例 2．（2025·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图 1 发现了阿基米德折弦定理．如图 2，已知 BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BCAB)，点 M 是上的点，MD⊥BC 于点 D，延长 MD 交弦 AB 于点 E，连接 BM，若 BM=，AB=4，则 AE 的长为( )A．B．C．D．例 3．（2025 上·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 ，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图 2，在上截取，连接，，和是弧的中点，∴，……(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)实践应用：如图 3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.(3)如图 4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.例 4．（2025·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理...
