（浙江专用）高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 立体几何中的空间角问题学案-人教版高三全册数学学案

第 2 讲 立体几何中的空间角问题高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.真 题 感 悟 (2018·浙江卷)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1；(2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值.法一 (1)证明 由 AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB 得 AB1＝A1B1＝2，所以 A1B＋AB＝AA，所以 AB1⊥A1B1.由 BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC 得 B1C1＝，由 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得 AC＝2，由 CC1⊥AC，得 AC1＝，所以 AB＋B1C＝AC，故 AB1⊥B1C1，又 A1B1∩B1C1＝B1，因此 AB1⊥平面 A1B1C1.(2)解 如图，过点 C1作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD.由 AB1⊥平面 A1B1C1，AB1平面 ABB1，得平面 A1B1C1⊥平面 ABB1，由 C1D⊥A1B1得 C1D⊥平面 ABB1，所以∠C1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角.由 B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝得 cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝，所以 C1D＝，故 sin∠C1AD＝＝.因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是.法二 (1)证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1).因此AB1＝(1，，2)，A1B1＝(1，，－2)，A1C1＝(0，2，－3).由AB1·A1B1＝0 得 AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1＝0 得 AB1⊥A1C1.所以 AB1⊥平面 A1B1C1.(2)解 设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为 θ.由(1)可知AC1＝(0，2，1)，AB＝(1，，0)，BB1＝(0，0，2).设平面 ABB1的法向量 n＝(x，y，z).由即可取 n＝(－，1，0).所以 sin θ＝|cos〈AC1，n〉|＝＝.因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是.考 点 整 合1.求异面直线所成角的方法方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到 (或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.用空间向量法求两条异面直线 a，b 所成角 θ 的步骤为：①求...