与球有关的切、接、截问题命题点 1 球与柱体的切、接问题1．处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．四个结论(1)长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.(2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a＝2R.(3)棱长为 a 的正方体的面对角线长等于与棱内切球的直径，即 a＝2R.(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为 h，底面外接圆半径为 x，则该几何体外接球半径 R 满足 R2＝＋x2.[高考题型全通关]1．[教材改编]正方体的外接球与内切球的球面面积分别为 S1和 S2，则( )A．S1＝2S2 B．S1＝3S2C．S1＝4S2 D．S1＝2S2B [根据题意，设正方体的棱长为 1，可得正方体的外接球直径为正方体的体对角线长，等于，而内切球直径等于正方体的棱长，等于 1， ∴S1，S2的比值为＝＝3，可得 S1＝3S2.故选 B．]2．(2020·沈阳模拟)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是 4π，则其侧棱长为( )A． B． C． D．B [三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是 4π，所以球的半径为 1，所以正方体的体对角线的长为 2，所以侧棱长为.故选 B．]3．在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AA1⊥平面 ABC，AA1＝2，BC＝2，∠BAC＝，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为( )A． B．16π C． D．A [直三棱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，(如图)， △ABC 中，∠BAC＝，∴下底面△ABC 的外心 P 为 BC 的中点，同理，可得上底面△A1B1C1的外心 Q 为 B1C1的中点，连接 PQ，取 PQ 中点 O，易知 O 是三棱柱 ABCA1B1C1 外接 球的球心． Rt△POB 中，BP＝BC＝，PO＝AA1＝1，∴BO＝＝2，即外接球半径 R＝2，因此，三棱柱 ABCA1B1C1外接球的球的体积为 V＝πR3＝π×23＝π.故选 A．]4．已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在以 O 为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球 O 的体积为( )A．4π B．8π C．12π D．20πA [在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 所在的截面圆的半径 r＝＝＝.所以直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的半径R＝＝＝.故直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为 πR3＝4π.故选 A．]5．一底面半径为 2 的圆柱形封闭容器内...
