第 2 讲 函数与方程[考情考向分析] 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．热点一 函数的零点1．零点存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0 的根．2．函数的零点与方程根的关系函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标．例 1 (1)已知 f(x)＝＋x－，则 y＝f(x)的零点个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析 令＋x－＝0，化简得 2|x|＝2－x2，画出 y1＝2|x|，y2＝2－x2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数 f(x)有两个零点．(2)关于 x 的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0(t∈R)的不等实根的个数为( )A．1 B．3 C．5 D．1 或 5答案 B解析 设 f(x)＝(x2－2x)ex，则 f′(x)＝(x＋)(x－)ex，所以函数 f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，且当 x→－∞时，f(x)→0，f(－)＝(2＋2)f(0)＝0，f()＝(2－2)当 x→＋∞，f(x)→＋∞，由此画出函数 y＝f(x)的草图，如图所示．关于 x 的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0，令 u＝f(x)，则 u2－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)2＋16>0，故有两个不同的解 u1，u2，又 u1u2＝f(－)f()＝－4，所以不等实根的个数为 3.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定．(2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练 1 (1)定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x)＝且 f(x＋1)＝f(x－1)，若 g(x)＝3－log2x，则函数 F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个答案 B解析 由 f(x＋1)＝f(x－1)得 f(x)的周期为 2，作函数 f(x)和 g(x)的图象，图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，g(5)＝3－log25<1＝f(5)，可得有两个交点，所以选 B.(2)已知函数 f(x)满足：①定义域为 R；②∀x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)；③当 x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程 f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]...
